VECTORES

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA

INTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA

“DR. FEDERICO RIVERO PALACIO”

REGIÓN CAPAPITAL

ING. ELÉCTRICA

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

VECTORES

Facilitador:

Ing. J. Muñoz

Participantes:

Edgar Rico C.I. V-15.332.787

Jaime Bencomo C.I. V-9.483.766

Edgar Cárdenas C.I: V-8.773.352

Caracas, Marzo de 2011

1.- A que es igual A . (B x C)? (Tomaremos en cuenta que A, B y C son vectores y A, B y C son los módulos de los vectores)

z x

h A

C

k β y

B

Figura 1

Al realizar A . (B x C), indicaremos que β es el ángulo que forman los vectores B y C, h la proyección del vector A sobre la recta perpendicular al plano que forman B y C y k el vector unitario que va dirección al resultado del producto vectorial (B x C). (Ver figura 1)

Entonces tendremos:

A . (B x C) = BC sen β (A.k) = BC h sen β

BC sen β es igual al área del paralelogramo formado por los vectores BC. El valor obtenido al realizar A . (B x C) es un valor V el cual es un escalar por definición de producto (.) de vectores, y el mismo no es más que el volumen del paralelepípedo que tiene por lado los vectores A, B y C.

2.- Demostrar que A . (B x C) = B . (C x A) = C . (A x B)

Ax Ay Az

Bx By Bz = A . (B x C) (I)

Cx Cy Cz

Si expresamos las componentes de los vectores A, B y C, en un determinante como se indica en (I), y tomando como referencia la figura 1 para esta demostración, veremos que la base del paralelepípedo puede ser también los pares de vectores C, A y A, B, y sabiendo que cuando se permutan un numero par de filas de un determinante el mismo no varía, tenemos que:

A . (B x C) = B . (C x A) = C . (A x B) = V (II)

Ahora bien si aplicamos la propiedad A x B = -B x A, nos queda: A . CxB = B . AxC = C . BxA = -V, y sabiendo que en el producto es conmutativo:

C . BxA = A . CxB = B . AxC = -V

Luego; BxC.A = CxA.b = AxB.C = V

Al comparar la última expresión con A . (B x C) = B . (C x A) = C . (A x B) = V (II), se hace ver que podemos intercambiar los signos de un producto mixto, (sin alterar el orden de los vectores), sin que cambie el producto mixto, además de cambiar el orden de los vectores, siempre que se mantenga la permutación circular y no se cambie el orden de los productos.

3.- En qué condiciones puede ser negativo el producto (.) de 2 vectores?

El producto escalar será negativo en aquellos casos que el valor del ángulo θ este en el intervalo comprendido: π > θ > π/2

4.- Escriba los resultados de A.B y AxB si:

a) A//B ; b) A ┴ B ; c) B ┴ A

a) Sabemos por definición que el producto A.B es:

A.B cos θ, cuando son paralelos los vectores el ángulo entre los vectores es 0º, por lo tanto el valor del escalar obtenido en este caso es A.B.

En el caso del producto AxB:

nA.B sen θ, en este caso el valor del producto vectorial es cero, porque sabemos que el ángulo que forman los vectores es cero al ser paralelos.

b) A ┴ B y c) B ┴ A (Caso producto escalar)

Cuando dos vectores son perpendiculares entre ellos, su producto escalar es:

En el caso que A ┴ B, A.B = A.B cos θ, como θ = 90º, entonces el producto queda: A.B cos 90º, el coseno de 90º es 0, por lo tanto el producto A.B es cero.

Cuando B ┴ A, B.A = B.A cos θ, como θ = 90º el coseno de 90º es 0, por lo tanto el producto B.A.

b) A ┴ B y c) B ┴ A (Caso producto vectorial)

b) AxB= nA.B sen θ, si los vectores son perpendiculares, θ = 90º, entonces el producto vectorial nos queda nA.B (1) = nA.B.

c) BxA= nB.A sen θ, si los vectores son perpendiculares, θ = 90º, entonces el producto vectorial nos queda nB.A (1) = nB.A.

5.- Dados dos vectores A y B, como se calcula:

a) La componente de A en dirección a B:

A

Β B

Componente AB

La componente de A con en la dirección de B se calcula de la siguiente forma:

A .Coseno β, (modulo del vector A por seno del ángulo que forman A y B)

b) La componente de B en dirección a A:

A Componente BA

β

B

La componente de B en la dirección de A se calcula de la siguiente forma:

B .Coseno β, (modulo del vector B por seno del ángulo que forman B y A)

6.- Si A.B = A.C, implica que B = C?

Por definición sabemos que:

A.B= A.B coseno β, y A.C = A.C coseno θ, si igualamos las dos expresiones nos queda:

A.B coseno β = A.C coseno θ, simplificando A y despejando C, nos queda la expresión:

C = (B coseno β) / coseno θ.

Del despeje se deduce: B será igual a C si se cumple:

Que la dirección de los vectores además de su magnitud, deben ser iguales, es decir que β = θ y B = C.

7.- Si AxB = AxC, implica que B = C?

AxB= A.B seno β, y AxC = A.C seno θ, si igualamos las dos expresiones nos queda:

nA.B seno β = mA.C seno θ, simplificando A y despejando C, nos queda la expresión:

C = (nB seno β) / mseno θ.

De la expresión se deduce que B será igual a C, si se cumple que:

Los vectores unitarios m y n estén en la misma dirección, y que β = θ. Las magnitudes B y C también deben ser iguales.