VECTORES

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VECTORES

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA

INTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA

“DR. FEDERICO RIVERO PALACIO”

REGIÓN CAPAPITAL

ING. ELÉCTRICA

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

VECTORES

Facilitador:

Ing. J. Muñoz

Participantes:

Edgar Rico C.I. V-15.332.787

Jaime Bencomo C.I. V-9.483.766

Edgar Cárdenas C.I: V-8.773.352

Caracas, Marzo de 2011

1.- A que es igual A . (B x C)? (Tomaremos en cuenta que A, B y C son vectores y A, B y C son los módulos de los vectores)

z x

h A

C

k β y

B

Figura 1

Al realizar A . (B x C), indicaremos que β es el ángulo que forman los vectores B y C, h la proyección del vector A sobre la recta perpendicular al plano que forman B y C y k el vector unitario que va dirección al resultado del producto vectorial (B x C). (Ver figura 1)

Entonces tendremos:

A . (B x C) = BC sen β (A.k) = BC h sen β

BC sen β es igual al área del paralelogramo formado por los vectores BC. El valor obtenido al realizar A . (B x C) es un valor V el cual es un escalar por definición de producto (.) de vectores, y el mismo no es más que el volumen del paralelepípedo que tiene por lado los vectores A, B y C.

2.- Demostrar que A . (B x C) = B . (C x A) = C . (A x B)

Ax Ay Az

Bx By Bz = A . (B x C) (I)

Cx Cy Cz

Si expresamos las componentes de los vectores A, B y C, en un determinante como se indica en (I), y tomando como referencia la figura 1 para esta demostración, veremos que la base del paralelepípedo puede ser también los pares de vectores C, A y A, B, y sabiendo que cuando se permutan un numero par de filas de un determinante el mismo no varía, tenemos que:

A . (B x C) = B . (C x A) = C . (A x B) = V (II)

Ahora bien si aplicamos la propiedad A x B = -B x A, nos queda: A . CxB = B . AxC = C . BxA = -V, y sabiendo que en el producto es conmutativo:

C . BxA = A . CxB = B . AxC = -V

Luego; BxC.A = CxA.b = AxB.C = V

Al comparar la última expresión con A . (B x C) = B . (C x A) = C . (A x B) = V (II), se hace ver que podemos intercambiar los signos de un producto mixto, (sin alterar el orden de los vectores), sin que cambie el producto mixto, además de cambiar el orden de los vectores, siempre que se mantenga la permutación circular y no se cambie el orden de los productos.

3.- En qué condiciones puede ser negativo el producto (.) de 2 vectores?

El producto escalar será negativo en aquellos casos que el valor del ángulo θ este en el intervalo comprendido: π > θ > π/2

4.- Escriba los resultados de A.B y AxB si:

a) A//B ; b) A ┴ B ; c) B ┴ A

a) Sabemos por definición que el producto A.B es:

A.B cos θ, cuando son paralelos los vectores el ángulo entre los vectores es 0º, por lo tanto el valor del escalar obtenido en este caso es A.B.

En el caso del producto AxB:

nA.B sen θ, en este caso el valor del producto vectorial es cero, porque sabemos que el ángulo que forman los vectores es cero al ser paralelos.

b) A ┴ B y c) B ┴ A (Caso producto escalar)

Cuando dos vectores son perpendiculares entre ellos, su producto escalar es:

En el caso que A ┴ B, A.B = A.B cos θ, como θ = 90º, entonces el producto queda: A.B cos 90º, el coseno de 90º es 0, por lo tanto el producto A.B es cero.

Cuando B ┴ A, B.A = B.A cos θ, como θ = 90º el coseno de 90º es 0, por lo tanto el producto B.A.

b) A ┴ B y c) B ┴ A (Caso producto vectorial)

b) AxB= nA.B sen θ, si los vectores son perpendiculares, θ = 90º, entonces el producto vectorial nos queda nA.B (1) = nA.B.

c) BxA= nB.A sen θ, si los vectores son perpendiculares, θ = 90º, entonces el producto vectorial nos queda nB.A (1) = nB.A.

5.- Dados dos vectores A y B, como se calcula:

a) La componente de A en dirección a B:

A

Β B

Componente AB

La componente de A con en la dirección de B se calcula de la siguiente forma:

A .Coseno β, (modulo del vector A por seno del ángulo que forman A y B)

b) La componente de B en dirección a A:

A Componente BA

β

B

La componente de B en la dirección de A se calcula de la siguiente forma:

B .Coseno β, (modulo del vector B por seno del ángulo que forman B y A)

6.- Si A.B = A.C, implica que B = C?

Por definición sabemos que:

A.B= A.B coseno β, y A.C = A.C coseno θ, si igualamos las dos expresiones nos queda:

A.B coseno β = A.C coseno θ, simplificando A y despejando C, nos queda la expresión:

C = (B coseno β) / coseno θ.

Del despeje se deduce: B será igual a C si se cumple:

Que la dirección de los vectores además de su magnitud, deben ser iguales, es decir que β = θ y B = C.

7.- Si AxB = AxC, implica que B = C?

AxB= A.B seno β, y AxC = A.C seno θ, si igualamos las dos expresiones nos queda:

nA.B seno β = mA.C seno θ, simplificando A y despejando C, nos queda la expresión:

C = (nB seno β) / mseno θ.

De la expresión se deduce que B será igual a C, si se cumple que:

Los vectores unitarios m y n estén en la misma dirección, y que β = θ. Las magnitudes B y C también deben ser iguales.

prueba1

ELECTROMAGNETISMO GRUPO N° 9 SECCIÓN 2

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA

INTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA

“DR. FEDERICO RIVERO PALACIO”

REGIÓN CAPAPITAL

ING. ELÉCTRICA

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

ELECTROMAGNETISMO

Facilitador:

Ing. J. Muñoz

Participantes:

Edgar Rico C.I. V-15.332.787

Jaime Bencomo C.I. V-9.483.766

Edgar Cárdenas C.I: V-8.773.352

Caracas, Marzo de 2011

1) ¿Qué es electromagnetismo?

El electromagnetismo es una rama de la física que estudia y unifica los fenómenos eléctricos y magnéticos. Estos dos fenómenos se unen en una sola teoría, ideada por Faraday, y se resumen en cuatro ecuaciones vectoriales que relacionan campos eléctricos, campos magnéticos y sus respectivas fuentes, conocidas como las ecuaciones de Maxwell.

El electromagnetismo es una teoría de campos, es decir, las explicaciones y predicciones que provee se basan en magnitudes físicas cuya descripción matemática son campos vectoriales dependientes de la posición en el espacio y del tiempo. El electromagnetismo estudia los fenómenos físicos en los cuales intervienen cargas eléctricas en reposo y en movimiento, así como los relativos a los campos magnéticos y a sus efectos sobre diversas sustancias sólidas, líquidas y gaseosas.

2) ¿Cuáles son las cantidades fuentes del modelo electromagnético?

La fuente del campo electromagnético siempre consiste en cargas eléctricas en reposo o en movimiento. Pero un campo magnético en torno a ellas puede ocasionar una redistribución de las mismas, lo cual a su vez modificará el campo; por esto no siempre es muy clara la separación entre la causa y el efecto.

Partiendo del principio de conservación de la energía, definiremos que las cantidades fuentes del modelo electromagnético son: la carga eléctrica, la densidad de carga y la densidad de corriente.

La carga eléctrica es una propiedad fundamental de la materia y únicamente existe en múltiplos enteros positivos y negativos de la carga de un electrón. Se usará la letra q para denotar la carga eléctrica, la cual se expresa en Coulomb como unidad y se denota con la letra C.

Q = e = 1,6 x 10¯¹⁹ (C)

La densidad de carga es la cantidad de carga en un volumen, en un elemento superficie o en un elemento de línea y se define de la siguiente forma:

1. La densidad volumétrica de carga. ρv = lim_∆v→0 ∆Q/∆V = dQ/dV (C/m³)

2. La densidad superficial de carga. ρs = lim_∆s→0 ∆Q/∆S = dQ/dS (C/m²)

3. La densidad lineal de carga. ρl = lim_∆l→0 ∆Q/∆L = dQ/dL (C/m)

La densidad de corriente, J, es la cantidad de corriente que fluye por un área unidad normal a la dirección del flujo de la corriente. Se expresa en A/m².

2.1) A partir del concepto de carga puntual. ¿Qué se entiende como una función puntual?

Se entiende como una función puntual a la variación de un punto a otro que experimentan las densidades de carga en las coordenadas espaciales.

En el electromagnetismo se define una función puntual vectorial a la Densidad de Corriente, J, que mide la cantidad de corriente que fluye por un área unidad normal a la dirección del flujo de la corriente. La letra J es un vector cuya magnitud es la corriente por unidad de área (A/m²) y su dirección es la del flujo de corriente.

3) ¿Es la densidad de carga una función puntual?

Las densidades de cargas ρv, ρs, ρl, son funciones puntuales porque varían de un punto otro en la coordenadas espaciales.

4) ¿Cuáles son las cuatros unidades fundamentales en el sistema MKS, del electromagnetismo?

En electromagnetismo hay cuatro unidades fundamentales, expresadas en el sistema MKSA o Sistema internacional de unidades (SI), estas unidades son las indicadas la siguiente tabla:

Cantidad	Unidad	Abreviatura
Longitud	metro	m
Masa	kilogramo	kg
Tiempo	segundo	s
Corriente	ampere	A

Todas las otras unidades usadas en el electromagnetismo son derivadas que se expresan en función de las indicadas anteriormente, incluyendo las de: Intensidad de campo eléctrico (E) V/m, Densidad de flujo eléctrico ó desplazamiento eléctrico (D) C/m², Densidad de flujo magnético (B) T e Intensidad de campo magnético (H) A/m.