REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
INTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“DR. FEDERICO RIVERO PALACIO”
REGIÓN CAPAPITAL
ING. ELÉCTRICA
TEORIA ELECTROMAGNETICA
TAREA #3
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE VECTORES
Facilitador:
Prof. Jesus Nuñez.
Participantes:
Edgar Rico C.I. V-15.332.787
Jaime Bencomo C.I. V-9.483.766
Edgar Cardenas C.I. V – 8.773.352
Caracas, Abril de 2011
1.- ¿A que es igual el producto vectorial de dos vectores en el plano cartesiano?
El producto vectorial de A x B en el plano cartesiano es igual a:
AxB = (ax Ax + ay Ay + az Az) x (ax Bx + ay By + az Bz)
Al efectuar el producto de vectorial de acuerdo a su definición punto por punto, y aplicando el producto de forma distributiva para eliminar los paréntesis y agrupar los términos semejantes, y sabiendo que al hacer este tipo de producto se genera un vector unitario cuya dirección viene dada siguiendo la regla de la mano derecha, nos queda:
AxB = ax (Ay Bz - Az By) + ay (Az Bx - Ax Bz) az (Ax By - Ay Bx)
Esto se puede resumir mediante el siguiente determinante:
ax ay az
A x B = Ax Ay Az
Bx By Bz
2.- Dada una carga eléctrica definida por el vector A y A = - ax + 2ay - 2az en el plano cartesiano:
a) ¿Cuál es la magnitud del vector A?
La magnitud del vector A, se puede calcular mediante el producto escalar, es decir: A.A.
A.A = (- ax + 2ay - 2az) . (- ax + 2ay - 2az) = (-1).(-1) + (2).(2) + (-2).(-2) = 1 + 4 + 4 = 9.
Y el valor de A viene dado por = √ A.A = √ 9 = 3
b) Calcular la expresión del vector unitario de a en la dirección de A.
El vector unitario a podemos calcularlo mediante la expresión a = A /│A│. El valor de la magnitud de A, (│A│), lo calculamos en el punto anterior y el mismo es 3.
a = ( - ax + 2ay - 2az ) / 3 = - (1/3)ax + (2/3)ay – (2/3)az.
c) ¿Qué ángulo forma A con el eje z?
Utilizando la expresión A . az = A cos θz, nos queda, (el modulo de az es 1):
( - ax + 2ay - 2az ) . az = 3 cos θz, es decir que (-2) = 3 cos θz. Despejando θz:
Θz = arcocos (-2/3) = 180º - 48,2º = 131,8º.
3.- Dado el campo eléctrico y el campo magnético por las siguientes expresiones:
E = ax5 – ay2 + az (Campo Eléctrico)
H = - ax3 + az4 (Campo Magnético)
Se pide: a) E . H ; b) E x H ; c) Angulo θEH
a) E . H , el producto vectorial en el plano cartesiano se resuelve multiplicando los términos correspondiente de cada uno de los vectores dados:
E . H = (ax5 – ay2 + az) . (- ax3 + az4) = (5.(-3)) + ((-2).(0)) + (1.4) =
-15 – 0 + 4 = -11
b) E x H, en este caso utilizaremos el método descrito en la pregunta 1:
E x H = (ax5 – ay2 + az) x (- ax3 + az4) =
E x H = (ax5 - ay 2 + az) x (-ax3 + ay0 + az4) =
Esto se resuelve mediante el siguiente determinante:
ax ay az
E x H = 5 -2 1 =
-3 0 4
= ax ((-2) . 4 – 1 . 0) + ay (1.(-3) – 5. 4) + az (5 . 0 – (-2) . (-3)) =
E x H = -ax 8 - ay 23 - az 6
c) Para el cálculo del Angulo θEH entre los vectores E y H, utilizaremos la expresión: E . H = EH cos θEH, de donde se despeja θEH, quedando :
θEH = arcocos (E . H / │E││H│),
En el punto a de este ejercicio ya calculamos E . H = -11, ahora se calcula el valor de la magnitud de cada uno de los vectores E y H, │E│y│H│ respectivamente:
│E│= √ (5.5) + (-2.-2) + (1.1) = √ 30
│H│= √ (-3.-3) + (4.4) = 5
θEH = arcocos (-11 / (5 * √ 30)) = 180º - 66,3º = 113,7º
4.- Escribir la expresión del Campo Eléctrico (E).
a) P1 (1, 3, 2) ; P2 (3, -2, 4), grafiquemos los puntos en la siguiente figura.
Obtendremos el vector resultante E, de la siguiente forma:
P1P2 = E = 0P2 - 0P1 = (ax 3 – ay 2 + az 4) – (ax + ay 3 + az 2) =
E = ax 2 – ay 5 + az 2
b) Determinar la longitud del campo E.
Para calcular la longitud de E, debemos calcular la magnitud de ese vector o lo que es lo mismo:
│E│= √ (2.2) + (-5.-5) + (2.2) = √ 33.
c) Encuentre la distancia perpendicular desde el origen al campo eléctrico E.
Se traza el vector 0N formando un ángulo recto con el vector E. (Tal como se aprecia en la grafica en el punto a de este ejercicio). Se puede ver que:
│0N│ es igual a │0P2│ sen θ = │0P2 x aE│
│0N│= │0P2 x E│/ │E│
│0N│= (│(ax 3 – ay 2 + az 4) x (ax 2 – ay 5 + az 2)│) / (√ 33)
│0N│= │ax 16 + ay 2 - az 4│/ (√ 33) = (√ 381) / (√ 33 ) = 3,40.
